C语言小课堂:模运算

TANG JIAMEI2025-06-15

模运算，又称模数、取模、取余数运算等，它得出一个数除以另一个数的余数。今天我们来一起了解一下在C语言中如何进行模运算。

一、知识点讲解

模运算是什么？

在C语言中，模运算（Modulo Operation）使用百分号 % 表示。它是一种二元运算符，用于计算两个整数相除后的余数。例如，a % b 表示 a 除以 b 的余数。

模运算的定义如下：对于整数 a 和非零整数 b ， a % b 的结果 r 满足 a = q * b + r ，其中 q 是商，r 是余数。余数 r 的符号与被除数 a 的符号相同。其绝对值小于除数 b 的绝对值，即 0 <= |r| < |b|。

示例：

10 % 3 的结果是 1 ，因为 10 = 3 * 3 + 1。

-10 % 3 的结果是 -1 ，因为 -10 = -4 * 3 + 2，但C语言中，余数的符号与被除数相同，所以 -10 = -3 * 3 - 1，或者更准确地理解为 -10 / 3 的商为 -3，余数为 -1 。

10 % -3 的结果是 1 ，因为 10 = -3 * (-3) + 1。

-10 % -3 的结果是 -1，因为 -10 = -3 * 3 - 1 。

何时用？

模运算在编程中具有广泛的应用，尤其是在处理周期性、循环性或需要对数据进行分组、散列的场景。

何时用：

判断奇偶性：当一个数 n 对 2 进行模运算时，如果结果为 0 ，则 n 是偶数；如果结果为 1 或 -1（取决于 n 的符号），则 n 是奇数。

限制数值范围（循环计数）：当需要一个变量在一个固定范围内循环时，模运算非常有用。例如，一个时钟的秒数从 0 到 59 循环，可以使用 (current_second + 1) % 60 来计算下一秒。

哈希函数：在数据结构和算法中，模运算常用于构建哈希函数，将任意大的键映射到固定大小的哈希表索引中。

数字位操作：获取一个数字的个位数、十位数等。例如 n % 10 可以得到 n 的个位数。

周期性任务调度：在操作系统或嵌入式系统中，周期性任务的调度常常涉及模运算，以确定任务在某个时间周期内的执行点。

加密算法：一些加密算法（如RSA）中会用到模幂运算。

为什么用：模运算提供了一种简洁高效的方式来处理整数除法后的余数，这对于解决上述问题至关重要。它允许我们实现周期性行为、数据分组和边界限制，而无需复杂的条件判断或循环结构。

与关联知识点的联系与区别：

与除法运算符 / 的联系：模运算与除法运算是紧密相关的。a / b 给出的是商，而 a % b 给出的是余数。两者共同构成了整数除法的完整结果。

与位运算符的联系：对于 2 的幂次的模运算，有时可以用位运算代替以提高效率。例如，n % 2 等价于 n & 1（对于非负数）。然而，位运算只适用于除数为 2 的幂次的情况，而模运算则适用于任意非零整数。

怎么用？

模运算的用法相对简单，但需要注意其操作数的类型和符号。

基本语法：result = operand1 % operand2;

其中 operand1 和 operand2 必须是整数类型（int , long , short 等）。如果操作数是浮点类型，编译器会报错。

示例代码：

#include <stdio.h>

int main() {
    int num1 = 17;
    int num2 = 5;
    int num3 = -17;
    int num4 = -5;
    
    // 示例 1: 正数模正数
    int result1 = num1 % num2; // 17 % 5 = 2
    printf("%d %% %d = %d\n", num1, num2, result1);
    
    // 示例 2: 负数模正数
    int result2 = num3 % num2; // -17 % 5 = -2 (余数符号与被除数相同)
    printf("%d %% %d = %d\n", num3, num2, result2);
    
    // 示例 3: 正数模负数
    int result3 = num1 % num4; // 17 % -5 = 2 (余数符号与被除数相同)
    printf("%d %% %d = %d\n", num1, num4, result3);
    
    // 示例 4: 负数模负数
    int result4 = num3 % num4; // -17 % -5 = -2 (余数符号与被除数相同)
    printf("%d %% %d = %d\n", num3, num4, result4);
    
    // 示例 5: 判断奇偶性
    int check_num = 24;
    if (check_num % 2 == 0) {
        printf("%d 是偶数。\n", check_num);
    } else {
        printf("%d 是奇数。\n", check_num);
    }
    
    // 示例 6: 循环计数（模拟时钟秒数）
    int current_second = 58;
    for (int i = 0; i < 5; i++) {
        current_second = (current_second + 1) % 60;
        printf("当前秒数: %d\n", current_second);
    }
    
    return 0;
}

注意事项：

除数（ operand2 ）不能为 0，否则会导致运行时错误（除零错误）。

模运算结果的符号与被除数（operand1）的符号相同。这是C语言标准规定的行为。

二、典型习题

选择题

一个整数 num 对 7 进行模运算，结果可能是以下哪个值？

A. 7

B. -7

C. 5

D. 8

判断题

表达式 (15 % 4) == (-15 % -4) 的结果为真（true）。

A. 对

B. 错

填空题

请填写 num % 10 表达式的计算结果，使其完成获取一个两位数 num 的个位数字的任务。例如，当 num 为 42 时，结果为 2 。

编程题

编写一个C语言程序，接收用户输入的一个正整数 n ，然后判断 n 是否为水仙花数。水仙花数是指一个三位数，其各位数字的立方和等于该数本身。例如， 153 是一个水仙花数，因为 1^3 + 5^3 + 3^3 = 1 + 125 + 27 = 153。

要求：

程序应提示用户输入一个三位数。

使用模运算和除法运算分离出该三位数的百位、十位和个位。

计算各位数字的立方和。

判断并输出该数是否为水仙花数。

编程题

编写一个C语言程序，模拟一个简易的数字加密器。程序接收一个四位数的整数作为明文，然后对其进行加密。加密规则如下：

将明文的每个数字（个、十、百、千位）都加上 7 。

将每个数字的结果都对 10 取模，得到新的数字。

将新数字的千位和十位互换，百位和个位互换。

要求：

程序应提示用户输入一个四位数的整数。

使用模运算和除法运算分离出明文的各个数字。

按照加密规则进行计算和交换。

输出加密后的四位整数。

三、习题讲解

选择题

一个整数 num 对 7 进行模运算，结果可能是以下哪个值？

A. 7

B. -7

C. 5

D. 8

答案：C

解析：模运算 a % b 的结果 r 满足 0 <= |r| < |b| ，且 r 的符号与被除数 a 的符号相同。在这里，除数是 7，所以结果的绝对值必须小于 7 。

A. 7 的绝对值不小于 7 。

B. -7 的绝对值不小于 7 。

C. 5 的绝对值小于 7，且可以是正数，符合条件。

D. 8 的绝对值不小于 7 。因此， 5 是唯一可能的选项。

判断题

表达式 (15 % 4) == (-15 % -4) 的结果为真（true）。

A. 对

B. 错

答案：B

解析：首先计算 15 % 4 ：15 = 3 * 4 + 3，所以 15 % 4 的结果是 3 。

然后计算 -15 % -4： C语言规定模运算结果的符号与被除数相同。-15 / -4 的商是 3 ，余数是 -3 （因为 -15 = 3 * (-4) - 3）。所以 -15 % -4 的结果是 -3 。

比较 3 == -3，结果为假（false）。因此，原表达式的结果为 错 。

填空题

请填写 num % 10 表达式的计算结果，使其完成获取一个两位数 num 的个位数字的任务。例如，当 num 为 42 时，结果为 2 。

答案： num % 10

解析：任何整数对 10 进行模运算，其结果就是该整数的个位数字。例如：

42 % 10 = 2

123 % 10 = 3

7 % 10 = 7这是因为当一个数被 10 除时，商是去掉个位数后的部分，余数就是个位数本身。

编程题

代码实现：

#include <stdio.h>
#include <math.h> // 需要用到pow函数计算立方，也可以手动乘三次

int main() {
    int n, original_n;
    int digit1, digit2, digit3; // 个位、十位、百位
    int sum_of_cubes;
    
    printf("请输入一个三位数: ");
    scanf("%d", &n);
    
    // 检查输入是否为三位数
    if (n < 100 || n > 999) {
        printf("输入不是一个三位数。\n");
        return 1; // 退出程序
    }
    
    original_n = n; // 保存原始值，用于最后比较
    
    // 分离个位
    digit1 = n % 10;
    n = n / 10; // 去掉个位
    
    // 分离十位
    digit2 = n % 10;
    n = n / 10; // 去掉十位
    
    // 分离百位
    digit3 = n % 10; // 此时n只剩百位
    
    // 计算各位数字的立方和
    sum_of_cubes = (digit1 * digit1 * digit1) +
                   (digit2 * digit2 * digit2) +
                   (digit3 * digit3 * digit3);
    
    // 也可以使用 pow 函数：
    // sum_of_cubes = pow(digit1, 3) + pow(digit2, 3) + pow(digit3, 3);
    
    // 判断是否为水仙花数
    if (sum_of_cubes == original_n) {
        printf("%d 是水仙花数。\n", original_n);
    } else {
        printf("%d 不是水仙花数。\n", original_n);
    }
    
    return 0;
}

解题思路：

输入与校验：首先获取用户输入，并简单校验是否为三位数，以确保后续分离数字的逻辑正确。

分离数字：

个位：利用 n % 10 可以直接得到 n 的个位数字。

去除个位：利用 n = n / 10 可以将 n 的个位去除，使其变成一个两位数（或一位数）。

十位和百位：重复上述过程，对新的 n 进行 n % 10 得到十位，再 n = n / 10 得到百位。

计算立方和：将分离出的三个数字分别求立方，然后相加。

判断：将计算出的立方和与原始输入的数进行比较，如果相等，则是水仙花数。

编程题

编写一个C语言程序，模拟一个简易的数字加密器。程序接收一个四位数的整数作为明文，然后对其进行加密。加密规则如下：

将明文的每个数字（个、十、百、千位）都加上 7 。

将每个数字的结果都对 10 取模，得到新的数字。

将新数字的千位和十位互换，百位和个位互换。

代码实现：

#include <stdio.h>

int main() {
    int plaintext;
    int d1, d2, d3, d4; // 千位、百位、十位、个位
    int e1, e2, e3, e4; // 加密后的数字
    int ciphertext;
    
    printf("请输入一个四位数的整数（明文）：");
    scanf("%d", &plaintext);
    
    // 检查输入是否为四位数
    if (plaintext < 1000 || plaintext > 9999) {
        printf("输入不是一个四位数。\n");
        return 1;
    }
    
    // 1. 分离明文的各个数字
    d4 = plaintext % 10;        // 个位
    d3 = (plaintext / 10) % 10; // 十位
    d2 = (plaintext / 100) % 10;// 百位
    d1 = plaintext / 1000;      // 千位
    
    // 2. 每个数字都加上7，然后对10取模
    e1 = (d1 + 7) % 10;
    e2 = (d2 + 7) % 10;
    e3 = (d3 + 7) % 10;
    e4 = (d4 + 7) % 10;
    
    // 3. 交换数字：千位和十位互换，百位和个位互换
    // 原始：e1 e2 e3 e4 (千百十个)
    // 交换后：e3 e4 e1 e2 (新的千百十个)
    ciphertext = e3 * 1000 + e4 * 100 + e1 * 10 + e2;
    
    printf("加密后的数字是：%d\n", ciphertext);
    
    return 0;
}

解题思路：

输入与校验：获取用户输入，并确保其为四位数。

分离数字：利用除法和模运算的组合，从明文中逐一提取出千位、百位、十位和个位。

plaintext % 10 得到个位。

(plaintext / 10) % 10 得到十位。

(plaintext / 100) % 10 得到百位。

plaintext / 1000 得到千位。

加密计算：对每个分离出的数字，按照规则 (digit + 7) % 10 进行计算，得到加密后的新数字。

数字交换与重组：根据交换规则，将新得到的四个数字重新组合成一个四位数。需要注意的是，这里是位置的交换，而不是数字本身的交换。新数字的千位是原先的十位加密结果，新数字的百位是原先的个位加密结果，以此类推。

新的千位是 e3 (原十位加密结果)

新的百位是 e4 (原个位加密结果)

新的十位是 e1 (原千位加密结果)

新的个位是 e2 (原百位加密结果) 最后将它们乘以相应的权重（1000, 100, 10, 1）并相加。

你总以为时间线是笔直向前，却不曾料想，在某个不经意的节点，一切又回到了起点，那不是停滞，而是另一种周而复始的秩序，每一次归零，都蕴含着新的可能。